Maths and Fluid Mechanics

Remark: You are brillant student interested in a M2 Research Internship followed by a PhD thesis in Applied Maths mixing modelization and mathematical analysis related to complex flows encountoured in environmental challenges. Do not hesitate to send me an email. We can define together a subject of mathematics in possible interactions with other disciplines.

 

Préambule: J’espère par ces quelques lignes montrer que la recherche nécessite du temps, de la pugnacité, de la chance et de belles rencontres. Le fait d’être au CNRS me donne plus de temps pour la recherche que certain.e.s de mes collègues enseignants-chercheurs et enseignantes-chercheuses même s’il incombe aux chercheurs et chercheuses CNRS d’assumer des responsabilités administratives fortes et d’assurer une diffusion de la connaissance conséquente (ce que je tente de faire). Permettre aux enseignants-chercheurs et enseignantes-chercheuses de bénéficier d’un temps de recherche important et assurer un nombre de postes permanents conséquent dans l’Enseignement Supérieur et la Recherche est primordial. Assurer une recherche de grande qualité avec de réels moyens mis à disposition pour les laboratoires  n’a pas de prix et ne va pas de paire avec une compétition sans fin, une mise sous pression perpétuelle et un système de « starification ».   La science dont je rêve : une très belle intervention à l’académie des sciences de Laure Saint-Raymond dont je partage à 300% le contenu.

Recherche sur 2015-2020 :

Ces cinq dernières années m’ont permis de résoudre plusieurs problèmes ouverts en mécanique des fluides compressibles sur lesquels je travaille depuis près de vingt ans avec certains collaborateurs-collaboratrices et ami.e.s. Ces problèmes concernent  le caractère bien posé au sens de J. Leray (solutions faibles) de systèmes de Navier- Stokes compressibles barotropes si l’on désire couvrir des cas plus physiques mais je liste également par la suite des travaux plus quantitatifs sur des écoulements multi-phasiques, les écoulements non-newtoniens, les phénomènes de congestion, les milieux granulaires, le viellissement et matériaux vitreux mous et limites champ moyen avec pour certains des interactions multi-disciplinaires importantes.

Les équations de Navier-Stokes constituent un modèle mathématique de base pour décrire le mouvement d’un fluide. Dans le célèbre papier [1] publié dans Acta Mathematica en 1934, « Sur le mouvement d’un fluide visqueux remplissant l’espace », Jean Leray (1906-1998) montre l’existence d’une solution régulière jusqu’à un temps T qu’il caractérise. Il introduit, également, le concept de solutions faibles (et pour ce faire, il définit d’ailleurs ce que l’on appelle maintenant un espace de Sobolev), en donnant une définition précise de ce qu’est une solution irrégulière du système, et montre qu’il existe une telle solution faible pour les équations de Navier-Stokes dans sa version incompressible et homogène  On appelle maintenant ces solutions de régularité minimale (énergie finie): solutions à la Leray. Même si l’existence globale de solutions faibles apporte assez peu sur le caractère bien posé du système, une telle analyse a de nombreux intérêts pratiques. En plus de la signification physique, car la régularité des données initiales supposée est minimale et fortement liée à des quantités physiques bien identifiées, les propriétés de stabilité des solutions faibles sur le modèle continu aident à mieux comprendre comment bien construire des schémas numériques stables qui le plus souvent ne préservent pas les estimations de régularité forte. Pour exemple, les travaux que R. Herbin a menés, au long court, avec R. Eymard, E. Feireisl, T.  Gallouët, J.–C Latché, D. Maltese, A. Novotny sur l’analyse théorique des méthodes de volumes finis et sur la modélisation et la simulation numérique des écoulements compressibles, ont permis l’élaboration d’une nouvelle classe d’algorithmes pour la mécanique des fluides, aux nombreuses applications industrielles. Ils ont notamment contribué, dans le domaine de la sûreté nucléaire, au développement du logiciel Calif3s, de l’Institut de radioprotection et de sûreté nucléaire (IRSN) [Ce qui a valu à Raphaele Herbin la médaille de l’innovation du CNRS en 2017].

En ce qui concerne l’existence globale de solution à la Leray de Navier-Stokes compressible barotrope: Peut-on considérer de l’anisotropie visqueuse suivant les directions dans le cas de viscosités constantes ? Peut-on couvrir le cas d’une pression non monotone ? Peut-on considérer des viscosités dépendant de la densité assez générales ?  Peut-on considérer des tenseurs de Reynolds un peu plus généraux ? Toutes ces questions, importantes en terme d’applications possibles, sont restées sans réponse satisfaisante depuis les résultats importants de P.– L. Lions en 1998 et E. Feireisl, A. Novotny et E. Petzeltova en 2001 qui considéraient le cas de viscosités de volume et de cisaillement isotropes et constantes ainsi qu’une loi de pression monotone ou tout au moins monotone en dehors d’un intervalle compact fixe. Nous avons apporté une réponse sur certaines de ces questions dans le cas d’un domaine périodique en dimension 2 et 3 lors de ce quinquennal en collaboration avec P.–E. Jabin (Ann. Math 2018 sur 107 pages) ainsi qu’avec A. Vasseur et C. Yu (J. Eur. Math. Soc. à paraître 2021). Il est clair que ces résultats ne sont pas le produit de ces cinq années mais bien d’un travail de longue haleine sur 20 ans parfois sur des problèmes qui semblaient n’avoir aucun lien avec ce sujet mais qui au final ont chacun joué un rôle important et parfois grâce également à certains résultats obtenus par des collègues (chercheurs, chercheuses, enseignantes-chercheuses ou enseignants-chercheurs) en France et à l’international: par exemple par ordre alphabétique d’Allemagne, Angleterre, Chine, Corée, Espagne, Etats-Unis, Hong-Kong, Italie, Japon, Pologne, République Tchèque, Russie, Taiwan. J’en donne quelques exemples ci-dessous mais je donne également un exemple où  le travail sur Navier-Stokes compressible avec viscosités constantes publié à Annals of Math nous a permis de trouver une bonne approche pour résoudre un problème ouvert extrêmement éloigné des fluides compressibles et qui concerne les limites champ moyen de systèmes de particules pour des noyaux singuliers attractifs/répulsifs assez généraux et en présence d’aléas incluant le cas important du système de Patlak-Keller-Segel (usité en chimiotaxie). Je commencerai dans les deux prochains paragraphes par décrire les résultats obtenus sur les solutions faibles pour Navier-Stokes compressible puis je décrirai d’autres travaux importants de ces dernières années même si cela n’est pas obligatoirement dans un cadre de régularité faible.  Nous renvoyons le lecteur aux travaux de R. Danchin et P. Mucha pour Navier-Stokes compressible à régularité critique, aux travaux de K. Beauchard et E. Zuazua pour les systèmes hyperboliques partiellement dissipatifs ou diffusifs étendant les résultats à la Kawashima-Shizuta et aux travaux fondateurs de A. Matsumura et T. Nishida sur Navier-Stokes compressibles et solution à régularité forte Sobolev.

Navier-Stokes compressible avec viscosités constantes avec de l’anisotropie en viscosité de cisaillement ou avec de la non monotonie en pression. Tout récemment, de nouvelles perspectives importantes se sont ouvertes en ce qui concerne l’existence globale de solutions faibles (dites solutions à la Leray) pour les équations aux dérivées partielles qui gouvernent l’écoulement d’un fluide compressible avec viscosités constantes. Il s’agit d’une collaboration avec Pierre-Emmanuel Jabin (CSCAMM, Univ. of Maryland). Nous avons introduit une méthode, plus précise que celle développée par P.–L. Lions et E. Feireisl, qui permet d’encoder la perte de propagation du taux de régularité pour la densité. Cette nouvelle méthode nous a permis de construire des solutions globales faibles dans le cas de pressions qui peuvent être thermodynamiquement instable (absence possible de monotonie sur la pression) et dans certains cas d’anisotropie dans le tenseur des contraintes (écart de taille des viscosités de cisaillement suivant la direction par rapport à la viscosité de volume) : Ce travail apporte une réponse à deux problèmes ouverts majeurs soulignés par P.–L. Lions et E. Feireisl notamment. Un article d’une longueur de 107 pages est paru en 2018 à Annals of Maths. Pour donner une réponse à ces deux problèmes ouverts, nous avons revisité la théorie de compacité classique pour la densité en obtenant des estimations précisées en terme de propagation de régularité. Ceci nécessite une analyse fine de la structure des équations combinée à une nouvelle approche de compacité pour l’équation de transport (par l’introduction de poids appropriés et une description précise de leurs propriétés mathématiques via quelques outils d’analyse harmonique). Pour une introduction à notre nouvelle méthode, et par souci de compréhension pour le néophyte, nous avons écrit avec P.-E. Jabin l’article (en l’honneur des 65 ans de G. Métivier) sur le cas plus simple des équations de Stokes compressible quasi-stationnaire. P.–E. Jabin a également présenté notre travail lors du congrès ICM à Rio en 2018 et nous avons écrit le proceeding ICM-Rio 2018 pour présenter cette méthode. Plutôt que de réécrire ce que nous avions déjà écrit sur NS compressible, nous avons avons décidé de répondre à un problème ouvert sur les équations des lacs dans le cadre dégénéré pour montrer la flexibilité de l’outil mathématique que l’on avait introduit. Il s’agit là d’une extension d’Euler incompressible qui prend en compte la présence d’hétérogénéité. Notons récemment des travaux en collaboration avec C. Burtea avec une toute nouvelle approche qui ne permet malheureusement pas de traiter Navier-Stokes compressible non-stationnaire. Dans un premier travail, paru dans Annales IHP: analyse non linéaire 2020 et dédié à la mémoire de Geneviève Raugel  (mathématicienne et amie de longue date qui a notamment travaillé sur Navier-Stokes incompressible anisotrope avec D. Iftimie, M. Paicu et G. Sell), nous revisitons les équations de Stokes compressible quasi-stationnaire et nous obtenons le premier résultat d’existence globale de solutions faibles sans restriction sur l’amplitude de l’anisotropie. Dans un deuxième travail, nous donnons une réponse à l’existence de solutions faibles pour Navier-Stokes compressible stationnaire en présence d’anisotropie et de termes non locaux (paru dans JMPA 2021) sous hypothèses de coercivité et de viscosité de volume suffisamment large où la nouvelle approche développée avec P.-E. Jabin semble ne pas fonctionner. Ces travaux sont basés sur des identités nouvelles permettant de caractériser la mesure de défaut.

Au mois de juillet 2020, avec P.–E. Jabin et F. Wang, nous avons montré l’existence de solutions à la Leray pour Navier-Stokes compressible non-stationnaire avec une loi de pression qui dépend  de la densité et de variables en temps et espace. La pression est supposée seulement localement Lipschitz en densité et avec quelques hypothèses en les variables en temps et espace. Une des grandes difficultés dans ce papier est de proposer une construction de solutions approchées compatible avec la procédure de stabilité que nous avons introduite dans notre papier paru dans Annals of Maths en 2018 qui passe par une cascade de pressions barotropes à coefficients bien choisis et par l’étude de l’impact d’une régularisation du terme de pression. Ce résultat peut être vu comme une étape importante pour considérer Navier-Stokes avec conduction de chaleur avec des lois de pression physiques comme la pression viriale tronquée.

Tous ces résultats ouvrent la théorie vers d’importantes applications par exemple pour décrire les évènements solaires (loi de pression viriale), les écoulements géophysiques (viscosité turbulente) ou les situations en biologie (anisotropie en viscosité et pression qui présente des zones d’attraction ou de répulsion avec seuils évoluant en temps et espace).

Navier-Stokes compressible avec viscosités dépendant de la densité. Le lecteur interessé par les équations de Navier-Stokes compressible avec viscosités dépendant de la densité pourra consulter l’exposé de F. Rousset au séminaire Bourbaki en Juin 2017 ainsi que le chapitre de Handbook que j’ai co-écrit avec B. Desjardins paru chez Springer sur invitation de Y. Giga et A. Novotny. On pourra également consulter l’Handbook que j’ai co-écrit avec P.–E. Jabin paru chez Birkhauser en 2020 où nous avons décidé de faire un point sur les travaux sur Navier-Stokes compressible dans sa version non-stationnaire.

Le cas de viscosités dépendant de la densité a attiré énormément l’attention depuis notre découverte avec B. Desjardins en 2004 d’une nouvelle entropie mathématique (appelée maintenant BD entropie) en dimension 2 ou 3 qui procure une estimation a priori sur le gradient d’une fonction de la densité sous hypothèse de relation entre la viscosité de cisaillement et la viscosité de volume (la fonction dépendant de la loi de viscosité de cisaillement).

Plusieurs remarques peuvent être faites à ce stade:

— La génèse de ce résultat provient d’un travail en collaboration avec B. Desjardins et C.K. Lin autour de Navier-Stokes-Korteweg paru en 2001 à CPDE (où la viscosité de cisaillement était prise égale à la densité et la viscosité de volume nulle).

— Un tel gain sur le gradient d’une fonction de la densité avait été mis en exergue en dimension 1 par Y.A. Kanel. Ce gain de régularité en densité est au prix d’une perte de régularité sur la vitesse proche du vide. On bascule alors vers des systèmes hyperboliques-paraboliques dégénérés où une structure d’hypocoercivité non linéaire existe. Notons que l’hypocoercivité au centre des travaux de A. Matsumura-T. Nishida ou de R. Danchin par exemple correspond en quelque sorte au linéarisé de la propriété d’hypocoercivité non linéaire que nous avons mise en avant.

— Une relation similaire à celle  que nous avons introduite avec B. Desjardins entre la viscosité de cisaillement et la viscosité de volume se retrouve lorsque l’on considère le système d’Euler-Korteweg et que l’on réécrit le terme dispersif comme un opérateur de diffusion appliqué au gradient d’une fonction de rho. Cette fonction de rho a un lien avec le coefficient de tension de surface choisi.

Après plus d’une dizaine d’années de travaux de recherche à l’international (notamment par D. Bresch – B. Desjardins, A. Mellet-A. Vasseur, P. Mucha-M. Pokorny-E. Zatorska, H. Li-J. Li-Z. Xin) nous avons montré en collaboration avec B. Desjardins et E. Zatorska (JMPA 2015) que le système peut être reformulé sous la forme d’un système augmenté (via ce que nous avons appelé une κ entropie où κ est un paramètre compris entre 0 et 1). Ceci explique comment le contrôle supplémentaire sur la densité est lié à  une structure bi-fluide du système de Navier-Stokes compressible quand il y a fort gradient de densité faisant un pas vers des questions de bi-vitesses d’H. Brenner du MIT. Il est intéressant de remarquer que nous retrouvons un concept de vitesse effective et de drift dû au fort gradient de densité dans la veine des travaux d’A. Einstein et d’E. Nelson.

Cette formulation augmentée ainsi que des travaux que j’avais co-écris sur des systèmes complétement différents de type Euler-Korteweg (voir la partie autres travaux), nous a permis en 2019 avec A. Vasseur (University d’Austin) et C. Yu (University Florida) de montrer l’existence globale de solutions faibles pour des viscosités de cisaillement et de volume assez générales satisfaisant la relation dite de Bresch et Desjardins qui assure la BD entropie. Ce travail est à paraître en 2021 à J. Eur. Math. Soc. et généralise fortement les importants résultats obtenus, de deux manières différentes et quasiment à la même période, par A. Vasseur et C. Yu (Inventiones 2016, arXiv:1501.06803v4) et J. Li et Z. Xin (arXiv:1504.06826v2) (ainsi que par I. Lacroix-Violet et A. Vasseur (JMPA 2018)). Ces travaux considéraient le cas d’une viscosité de cisaillement proportionnelle à rho et d’une viscosité de volume nulle. Le très beau travail de J. Li et Z. Xin contient également des cas très intéressant de viscosités de cisaillement et de volume satisfaisant la relation BD mais malheureusement pour un tenseur des contraintes non symétrique en dimension 3.  Récemment, dans un travail soumis avec T. Alazard, nous avons exhibé comment améliorer  la gamme de viscosités couverte dans notre travail avec A. Vasseur et C. Yu lors d’une incursion autour de fonctionnelles de Lyapunov pour des écoulements à surface libre.

Ces résultats sur Navier-Stokes compressible à viscosités dépendant de la densité ouvrent la théorie de la mécanique des fluides vers la communauté des inégalités log-sobolev et du transport optimal Pouvoir considérer le cadre de viscosités de cisaillement et de volume dépendant de la densité en dimension d’espace supérieur à 1 a ouvert une voie complémentaire à celle concernant le cas des viscosités constantes. Il est intéressant de voir également comment ces viscosités dépendant de la densité peuvent permettre de répondre à un problème ouvert autour d’Euler compressible symétrique en domaine entier et densité à l’infini positive (l’énergie totale est alors non bornée). Dans un très beau papier, G.Q. Chen a résolu récemment ce problème avec Y. Wang après une dizaine d’années de recherche en construisant la solutions comme limite forte des solutions de Navier-Stokes compressible avec viscosités dégénérées satisfaisant la relation algébrique. Ce résultat indique qu’aucune concentration ne se forme dans la limite faible viscosité même quand l’énergie initiale n’est pas bornée bien que la densité peut exploser proche de l’origine à un certain moment.

 

 Les travaux autour de Navier-Stokes compressible avec viscosités dépendant de la densité ont également ouvert la théorie vers d’importantes applications notamment vers les écoulements granulaires (viscosités dépendant de la pression, effet mémoire, contrainte unilatérale, maximal packing…). Ce dernier point a donné l’opportunité avec F. Bouchut, A. Mangeney et F. Radjai de constituer un groupe extrêmement complet pour déposer une demande ERC Synergy en novembre 2019 autour de ce sujet (voir la partie projets de recherche en synergie sur six ans en fin de texte).

Importante remarque: Il est intéressant de noter que les cadres mathématiques pour prouver l’existence de solutions faibles avec viscosités de cisaillement et de volume constantes et l’existence de solutions faibles avec viscosités dépendant de la densité  semblent complétement différents. Une avancée importante serait d’en faire le lien: La propagation quantitative introduite avec P.E. Jabin pourrait être une voie si on arrive à faire intervenir la viscosité dans cette quantité.

Autres travaux. Plusieurs autres axes de recherche m’intéressent comme les écoulements multi-phasiques, les écoulements non-newtoniens, les phénomènes de congestion, les milieux granulaires. J’ai été invité par Y. Giga et A. Novotny à écrire, avec mes co-auteurs, deux chapitres pour l’Handbook of Mathematical Analysis in Mechanics of Viscous Fluids: – L’un concernant les résultats mathématiques autour de modèles multi-phasiques, – L’autre concernant Navier-Stokes compressible à viscosités dépendent de la densité.  Je suis également fortement intéressé par le lien entre théorie-numérique et interaction avec d’autres disciplines.

1– NS Korteweg – Euler Korteweg. Avec P. Noble, J.–P. Vila, nous avons introduit un concept d’entropie relative lié à la structure bi-fluide de Navier- Stokes compressible avec viscosités dépendant de la densité qui est beaucoup plus complexe que dans le cas déjà connu à viscosités constantes (voir les travaux d’E. Feireisl et A. Novotny notamment dans le cas des viscosités constantes). Notons qu’un travail en dimension 1 et dans le cas d’une loi de pression linéaire avait été considéré par B. Haspot auparavant (voir Comm. Math. Sciences). Avec F. Couderc, P. Noble et J.P. Vila (CRAS), nous nous sommes également intéressés au cas du système d’Euler-Korteweg (i.e. sans viscosité). Nous avons tout d’abord généralisé la formule de Böhm (qui jouera un rôle très important dans NS compressible) et nous avons ensuite proposé un schéma numérique sur base d’une formulation augmentée qui peut être décomposée en deux parties: une partie hyperbolique conservative et une partie différentielle d’ordre 2 anti-symétrique pour la norme L2. Ceci permet de proposer un schéma numérique avec même condition CFL que le système hyperbolique d’Euler compressible sous-jacent. Ce résultat est extrêmement important en terme d’applicabilité via un code numérique efficace pour systèmes dispersifs qui donne une réponse à un problème numérique ouvert depuis longtemps. Nous avons récemment étendu ce résultat pour une énergie capillaire plus complexe (accepté dans J. Comp. Physics) dans le cadre d’un projet H2020: Optiwind through Horizon 2020/Clean Sky2 (call H2020-CS2-CFP06-2017-01) en lien avec St Gobain [porté par le LOCIE (C. Ruyer-Quil) et le LAMA (D. Bresch)] en collaboration avec N. Cellier, F. Couderc, M. Gisclon, P. Noble, G. Richard, C. Ruyer-Quil, J.P. Vila. Il est intéressant de voir au travers de cette collaboration le large spectre thématique nécessaire et couvert par le fait d’être une équipe complète :  modélisation, maths-théorique, maths-numérique, calcul scientifique, physique. Notons que d’autres formulations augmentées qui semblent  moins propices aux simulations numériques ont été introduites par S. Gavrilyuk, H. Gouin et collaborateurs ainsi que P. Villedieu et collaborateurs. Une réflexion autour de la gestion de points triples et surface libre est en cours. Il est important de dire également que des résultats d’existence globale de solutions faibles ont été récemment obtenus par A. Vasseur-I. Lacroix-Violet (périodique), R. Carles–K. Carrapatoso-M. Hillairet (espace entier) et P. Antonelli–L.E. Hientzsch–S. Spirito (espace entier) pour Navier-Stokes-quantique ou Navier-Stokes avec coefficient de tension de surface constant en choisissant la viscosité de cisaillement proportionnelle à rho et la viscosité de volume nulle. A noter que l’existence globale de solutions faibles pour Navier-Stokes-quantique avec viscosités de cisaillement et de volume constantes est un problème ouvert.

Notons également le résultat récent obtenu avec I. Lacroix-Violet et M. Gisclon, paru dans Arch. Rational Mech. Anal., basé sur une formulation augmentée qui permet de relaxer des hypothèses de concavité des travaux de D. Donatelli, E. Feireisl, P. Marcati et ceux de J. Giesselmann, , C. Lattanzio, A.E. Tzavaras et de leurs collaborateurs autour de Navier-Stokes-Korteweg et Euler-Korteweg. Nous avons développé la notion d’entropie relative pour Navier-Stokes compressible à viscosités dépendant de la densité pour montrer divers résultats de convergence comme unicité fort-faible, convergence vers une solution dissipative d’Euler compressible ou incompressible ou d’Euler-Korteweg et la convergence des équations de Saint-Venant visqueuses vers les équations sans viscosité.

Nous avons également récemment montré, dans une note CRAS, que l’entropie dite de Bernis- Friedman qui est un outil mathématique central en mathématique pour obtenir des résultats d’existence de solutions faibles pour les équations de films est inclus dans la BD entropie que nous avons introduite en 2001 pour les équations de Saint-Venant visqueuses (et plus généralement pour Navier- Stokes compressible en 2004). Ceci permet d’obtenir les solutions faibles de modèles de film minces comme limite de solutions faibles de modèles de Saint-Venant. Khawla Msheik (qui a récemment soutenu sa thèse sous la direction de R. Talhouk et moi-même) travaille dans le cadre de l’ANR FRAISE et collabore fortement avec C. Ruyer Quil qui est physicien au LOCIE.

2– Modèles multi-phases. Cette partie est liée aux équations de Navier-Stokes compressible barotrope avec une suite de densités initiales fortement oscillantes.   Suite à un travail que j’ai écris (ARMA) avec X. Huang (qui était post-doctorant à cette période avec moi) et aux travaux de M. Hillairet (J. Math Fluid Mech) autour de caractérisation et de propagation de mesures de Young liés aux suites de densités dans le cas compressible, nous avons écrit un article avec M. Hillairet (Annales ENS) qui montre comment obtenir un modèle multi-phasique relaxé de type Baer- Nunziato à partir de Navier-Stokes compressible avec viscosités dépendant de la densité. Outre le fait qu’il s’agit de la première justification mathématique d’obtention de modèles multi-fluides par homogénéisation, il s’agit là d’un résultat très intéressant car il permet d’obtenir un terme de relaxation en lien avec la viscosité du fluide et non posé de manière ad-hoc comme cela est le cas dans les travaux de physiciens comme Ishii, Drew-Passman. Récemment, nous avons étendu la méthode théorique pour permettre d’obtenir un modèle bi-phases à 2 pressions, pour mettre au point des schémas numériques adéquats et enrichir un peu plus la physique des systèmes obtenus avec C. Burtea et F. Lagoutière. Ces résultats (soumis sous forme d’un projet de note CRAS de 24 pages) sont liés au concept de solutions à la Hoff qui permet de considérer des densités seulement bornées uniformément tout en considérant des vitesses suffisamment régulières pour pouvoir quantifier la propagation des interfaces.  Notons que des tentatives avaient été faites par A.A. Amosov et A.A.  Zlotnik, M. Hillairet, P.I. Plotnikov et J. Sokolowski en lien avec les solutions faibles à la Leray qui ne permettent pas de caractériser les mesures de défauts mais  permettent d’obtenir l’équation cinétique associée. J’aimerai dédier cette partie à A. Mikelic qui nous a malheureusement quitté en cette fin d’année 2020. Il était  un spécialiste mondialement reconnu de l’homogénéisation et des écoulements en milieu poreux. Il fut l’un des premiers à m’inviter à Lyon pour discuter mécanique des fluides et homogénéisation tout en passant de bons moments autour d’une bonne table alors que j’étais tout frais sorti de thèse: ces moments de partage ont beaucoup compté dans ma façon de voir la science et je n’ai jamais hésité à interviewer Andro pour sa connaissance encyclopédique en homogénéisation et milieux poreux. C’est aussi en quelque sorte grâce à lui que j’ai pu rencontrer Eduard Marusic-Paloka qui m’a alors invité pour un colloque en Dalmatie où j’ai de très bons souvenirs mêlant de nouveau discussions scientifiques et plaisirs de la table.

3 – Phénomènes de congestion. Mon intérêt pour les phénomènes de congestion en lien avec des modèles macroscopiques de type mécanique des fluides provient de travaux de P. Degond et ses collaborateurs ainsi que de B. Maury et collaborateurs. Les travaux réalisés sur Navier-Stokes compressible avec viscosités dépendant de la densité ont également ouvert la voie vers les problèmes de congestion ou plus généralement vers les problèmes de maximal packing en mécanique des fluides. Un premier résultat (CRAS) a été réalisé en 2014 avec C. Perrin (lorsqu’elle était en thèse sous ma direction) et E. Zatorska (post-doctorante sous ma direction et celle de V. Giovangigli à cette période) pour justifier l’obtention d’un modèle compressible à contrainte unilatérale (version hard) à partir de Navier-Stokes compressible avec pression singulière (version soft ) et viscosités de cisaillement et de volume constant en dimension 1. Un travail sur un modèle à contrainte unilatérale obtenu comme limite de Navier-Stokes compressible avec une loi puissance dont la puissance tend vers l’infini avait été considéré par N. Masmoudi et P.–L. Lions en 1999 mais n’assurait pas à paramètre fixé de satisfaire la contrainte de borne supérieure sur la densité. Le cas multi-dimensionnel a été ensuite traité par C. Perrin et E. Zatorska (CPDE).

Nous nous sommes ensuite  intéressés avec M. Renardy, dans un papier paru dans Asymptotic Analysis, au développement de zone de congestion pour écoulement compressible non visqueux  avec pression singulière. Nous avons montré (formellement) qu’un front de type choc peut séparer la zone congestionnée de la zone non congestionnée et que cette formation de front de chocs doit être prise en compte si l’on désire justifier la limite entre équations d’Euler compressible avec pression singulière et système d’Euler avec contrainte unilatéral. Un très beau travail sur la justification mathématique en dimension 1 a été réalisé par R. Bianchini et C. Perrin.

Avec S. Necasova, C. Perrin (J. Ecole Polytechnique), nous avons étudié les effets de compression dans des milieux hétérogènes avec contraintes de maximal parking. Plus précisemment, nous nous sommes intéressés aux équations de Brinkman compressible où le maximal parking est encodé dans une pression singulière et dans une viscosité de volume singulière. Nous avons montré que nous pouvons obtenir différents systèmes de congestion avec possibilité d’effet mémoire suivant l’ordre des paramètres pour la pression ou la viscosité de volume. Ces travaux et ceux de C. Perrin (durant sa thèse sous ma direction) donnent un écho mathématique aux simulations et discussions d’A. Lefebvre-Lepot et B. Maury.

Le lecteur ou la lectrice intéressé.e par les problèmes de congestion peut contacter C. Perrin et consulter les travaux de synthèse et de recherche  que l’on peut trouver sur sa page à l’I2M (Marseille – France) depuis qu’elle y est CR CNRS. Il ou elle peut également me contacter bien évidemment.

Les phénomènes de congestion apparaissent également dans les problèmes de type objet en contact avec une surface libre ce qui nous a motivé avec D. Lannes, G. Métivier à travailler ensemble. Dans un papier à paraître dans Analysis PDE, nous avons étudié mathématiquement un problème de type ondes de surface – Structure (lorsque la structure est fixée) qui peut être réduit à un problème de transmission pour le système de Boussinesq. Cette analyse mène à une nouvelle notion de condition de compatibilité pour un système dispersif qui coïncide avec les conditions de compatibilité hyperbolique quand le terme dispersif est absent. Un phénomène nouveau de couche limite dispersive est mis en exergue. Il s’agit là du premier résultat d’existence de solutions fortes sur ce type de problèmes de transmission pour les systèmes dispersifs. Ce travail étend le travail de T. Iguchi et D. Lannes (Indiana Univ Journal) qui traite le cas hyperbolique avec condition de transmission inhérent aux problèmes d’objet flottants en régime shallow-water. Le lecteur intéressé par des travaux autour des objets flottants (i.e. qui bougent) prolongeant notre résultat peut consulter les récents papiers de D. Lannes et ses collaborateurs-collaboratrices ainsi que certains papiers de ses étudiants.

4 – Viellissement et matériaux vitreux mous. Ce sujet est le fruit de l’ANR interdisciplinaire MANIPHYC avec comme PI principal (L. Bocquet (Physicien, LPMCN – Université de Lyon 1) et PI locaux (A. Colin (Chimiste, LOF-Université de Bordeaux), T. Colin (IMB-Université de Bordeaux), D. Bresch (LAMA- Université de Savoie Mont-Blanc) et concerne les matériaux vitreux mous au travers des modèles cinétiques de type Hébraud-Lequeux. 

Au travers d’une collaboration inter-disciplinaire (maths-phys), paru dans Phys Rev A, avec J. Olivier et P. Sollich nous avons pu apporter un nouveau regard sur les phénomènes de vieillissement en lien avec le modèle d’Hébraud-Lequeux fortement utilisé pour certains fluides vitreux mous. Une analyse multi-échelles en temps (généralisant une approche développée par J. Olivier et M. Renardy durant la thèse de J. Olivier sous ma direction via une analyse multi-échelles en phase) permet de préciser formellement le comportement du fluide et la transition de phases dépendant d’un paramètre d’état et d’apporter quelques réponses à des questions soulignées en physique: doit-on revoir le modèle d’Hébraud-Lequeux au vu de sa prédicition sur le vieillissement ? Le travail de J. Olivier et M. Renardy me semble réellement original car il relie tailles de couches limites et lois de comportement: Un exemple nouveau mêlant couches limites, équations cinétiques, transition de phases et  modèles non-newtoniens.

Une justification mathématique complète et des travaux de stabilité autour du modèle d’Hébraud-Lequeux font partie d’un projet de recherche futur.  A noter que J. Olivier a également collaboré avec P. Puosi et K. Martens (Physiciens), sur la base de l’approche multi-échelles qu’il  avait introduite avec M. Renardy, en publiant dans la revue Soft Matters. Le lecteur ou la lectrice intéressé.e par les matériaux vitreux mous et le système cinétique de type Hébraud-Lequeux peut contacter J. Olivier à l’I2M (Marseille – France) où il est Maître de conférences. Il ou elle peut également me contacter bien évidemment.

5– Limite de champ moyen. Même si cela paraît étrange, cette partie fait suite au papier sur Navier-Stokes compressible que nous avons co-écrit ensemble avec P.– E. Jabin. L’idée d’introduire un poids dynamique dans ce papier, nous a amené avec P.–E. Jabin et Z. Wang à rechercher le même type de chose dans le cas de la limite champ moyen et de systèmes de particules. Il s’est avéré après coup qu’il s’agissait d’introduire une énergie libre modulée qui peut être vu comme une combinaison pondérée de l’énergie potentielle modulée de S. Serfaty et de l’entropie relative de P.–E. Jabin et Z. Wang.

Cette combinaison permet de mêler le positif des deux approches (celle de S. Serfaty et celle de P.-E. Jabin — Z. Wang). Plus précisément, ceci nous a permis, pour la première fois, d’obtenir un taux de convergence dans la limite champ moyen pour des noyaux répulsifs singuliers de Riesz et de Coulomb en présence de viscosité (voir les commentaires sur notre approche et nos résultats dans le papier précurseur de S. Serfaty (avec appendix de M. Duerinckx) concernant la limite champ moyen et le noyau de Coulomb paru dans Duke Math. J. en 2020). Nous avons pu également considérer des noyaux répulsifs un peu plus généraux par une analyse de Fourier mais également des noyaux attractives de type Patlak-Keller-Segel. Ce travail est paru dans une note CRAS de 12 pages en 2019 (où l’on se focalise à présenter les principales étapes de preuves dans  le cas attractif de type Patlak-Keller-Segel où la viscosité joue un rôle essentiel) et dans les actes du séminaire Laurent Schwartz (article original paru en 2019 avec toutes les preuves non soumis ailleurs concernant le cas de noyaux répulsifs assez généraux) qui fait suite à un exposé à l’IHES et peut être vu comme un prolongement du travail précurseur de S. Serfaty.  Un article accepté dans Duke Mathematical Journal concerne le cas des noyaux attractifs (au plus logarithmique) incluant le cas de Patlak-Keller-Segel en régime sous-critique optimal. Des estimations de type large déviation précisées sont nécessaires pour encoder la compétition entre diffusion et attraction. Ces deux derniers articles (actes du séminaire Laurent Schwartz et papier accepté dans Duke Math Journal) donnent une preuve complète des résultats annonçés dans la note CRAS de 12 pages de 2019. Ils permettent de couvrir une large gamme de noyaux d’interaction combinant partie attractive, partie répulsive et partie régulière. Il est intéressant de noter que ce concept d’énergie libre que nous avons exploité, à notre connaissance, pour la première fois dans un cadre mathématique particulaire est le point de départ de travaux récents très intéressant de S. Serfaty et ses collaborateurs T. Leblé, S. Amstrong autour de la dépendance en température et de l’analyse des fluctuations.

Récemment, avec Pierre-Emmanuel Jabin et Juan Soler, nous avons introduit une nouvelle approche pour la limite champ moyen de système de particules avec terme stochastique permettant la première justification de la limite champ moyen pour le système de Vlasov-Poisson-Fokker-Planck pour les plasmas en dimension deux ainsi qu’un résultat partiel en dimension 3. La méthode est compatible avec des systèmes d’ordre deux qui donne des équations cinétiques. Elle est basée sur des estimations nouvelles sur la hiérarchieBBGKY. En utilisant fortement la présence de diffusion en vitesse, ces estimations contrôlent des normes Lp à poids sur les marginales ou observables du système uniformément en le nombre de particules. Ceci permet de traiter des noyaux d’interaction singulier entre particule incluant l’interaction répulsive de type Poisson en dimension 2 d’espace.

 

Un Projet de Recherche en synergie sur six ans soumis de nouveau en Automne 2021 :

Mes résultats théoriques obtenus autour des écoulements compressibles durant les 5 dernières années et plus généralement les années précédentes m’ont amené sur invitation de F. Bouchut et A. Mangeney à concevoir et à déposer à quatre (F. Bouchut, A. Mangeney, F. Radjai et moi-même) un projet d’ERC Synergy  en novembre 2019 autour de la rhéologie multi-échelles des matériaux granulaires, de la dynamique des ondes et des glissements de terrains. Ce projet ERC (Slidewaves) est structuré autour de 4 chercheur.e.s où chacun des PI a sa spécialité : F. Bouchut (Mathématiques – Numérique), D. Bresch (Mathématiques – Théorie) ainsi qu’A. Mangeney (Géophysique), F. Radjai (Mécanique – Numérique). Nous avons mis plus d’un an à le rédiger grâce à de multiples réunions ensemble à Paris et par visio-conférence. Au sein de ce projet ERC, plusieurs axes nécessitent un regard théorique en mathématique étroitement mêlé à de l’analyse numérique (CFD et DEM) et à de l’interaction avec d’autres disciplines notamment la mécanique et la géophysique sur toutes les pistes de recherche (research tracks) présentées dans les documents ERC-B1 et ERC-B2. Le projet ERC synergy a passé les 2 premières étapes de sélection et l’oral a eu lieu le 09 septembre 2020 en visio-conférence avec le PANEL ERC. Malheureusement, notre dossier (71/441 au final)  n’a pas été suffisamment bien classé pour être retenu parmi le peu de dossiers financés (34/441) mais grâce à un travail exceptionnel en complète synergie ensemble (couplé à la pugnacité communicative d’Anne et Fahrang dans la rédaction et la complicité acquise depuis des années par un travail pluridisciplinaire entre Anne et François), nous avons pu redéposer une candidature à l’automne 2021 (il n’y a malheureusement pas d’appel d’offre en automne 2020) vu l’importance d’une meilleure compréhension des glissements de terrains et de leurs impacts dans le cadre du changement climatique permettant ainsi d’améliorer les jeux de cartes d’alertes qui sont importants pour les stratégies d’évacuations de sites. Nous avons passé les 2 premières étapes de sélection et l’oral a eu lieu le 06 septembre 2022. A noter que ce projet va bien plus loin que les glissements de terrain et les tsunamis. Malheureusement nous avons reçu une réponse négative ce mois d’octobre: notre projet n’a pas été sélectionné et j’en suis très déçu.

 

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